Teoría de Conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas.

Conjunto

       un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, entre otros. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

       Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

       Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo.



       Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

        Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos se pueden presenciar de la siguiente manera:

∅: el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

A) Conjunto infinito: es un conjunto que no es finito, es decir sus elementos son infinitos, y  no puede ser representado por enumeración. Algunos ejemplos son: Los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

B) Conjunto finito: es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural. 

C) Conjunto Vacio: Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: C= ∅. ejemplo: C={x∈N| x<∈ ∅}.

D) Conjuntos iguales : dos conjuntos son iguales cuando poseen el mismo elemento, ejemplo:
A={1,2,3} y B={3,1,2}

E) Conjunto Disyuntos: dos conjuntos serán disyuntos si no tienen elementos en  común. Es decir
cuando la intersección de ambos es vacía. Por ejemplo los conjuntos: 
                                    P={1,2,3,4,5}     y    Q={a,e,i,o,u}

F) Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia

Ejemplo: U={x/x es un animal}

A={x/x es un mamífero}

B={x/x es un reptil}

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

1) Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ∈ A.

2) Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

3) Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

SUBCONJUNTO

       Es un elemento de un conjunto mayor considerada de forma separada pero sin dejar de ser parte del mismo. Por ejemplo, en el caso de una universidad, si consideramos al conjunto de todos los alumnos de la clase de estadística un subconjunto de este puede ser el conjunto de todos los estudiantes hombres en la clase de Estadística. 

       En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

Subconjuntos propios

       Si nos fijamos en la definición de subconjunto y dejamos que nuestra mente trabaje un poco, llegamos a una conclusión rara. Digamos que A es un conjunto. ¿Es verdad que todo elemento a de A también es un elemento de A? Bueno, está claro que sí, ¿no? ¿Y eso no significa que A es un subconjunto de A? Esto no parece muy correcto, ¿no? Queremos que nuestros subconjuntos sean propios. Así que introducimos la definición de subconjuntos propios.

       A es un subconjunto propio de B si y sólo si cada elemento de A está en B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A.

       Esta pequeña parte del final es la que hace que A no sea un subconjunto propio de sí mismo. Por lo demás, un subconjunto propio es lo mismo que un subconjunto normal.

Así que por ejemplo, {1, 2, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es un subconjunto propio de {1, 2, 3}.
Por otra parte, {1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4} porque el elemento 4 no está en el primer conjunto.

SUBCONJUNTO IMPROPIO:

       Se denominan subconjuntos impropios al conjunto vacio y el mismo conjunto. 

Por ejemplo, los subconjuntos de A = {a, b, c} son: 
Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} 

       De estos, los subconjuntos Ø y {a, b, c} son impropios. 


       Previsiblemente, los demás subconjuntos se denominan subconjuntos propios.


       Y en resumen a todo lo anterior y como adelanto del contenido siguiente se tiene el presente esquema:

Álgebra de Conjuntos



       Existen unas Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: sustituyendo el álgebra de conjuntos.


Unión



       La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

Intersección 



Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

       Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Conjunto de Vacío 

       Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo ∅.

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }

       El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B= ∅




CONJUNTOS AJENOS

       Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.




COMPLEMENTO


       El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }


DIFERENCIA

       Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }

       En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
Otro ejemplo gráfico seria :

Definición matemática de Conjunto

A) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

B) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Por comprensión	Por extensión
A = {Números dígitos}	A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]	B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}	C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

POR EJEMPLO:

Definir por comprensión el siguiente ejercicio.

{X∈ IN / X -4 = -1  y X+8=11}

X=-1+4      X= 11 – 8

X= 3              X= 3

 {3}


C) Diagrama de Venn :

       Los Diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

       En el siguiente vídeo cortesía de teraplus se muestra el diagrama de Venn y su relación con la álgebra de conjuntos.

Leyes de DeMorgan:

       Las Leyes de De Morgan sirven para declarar que la suma de n variables proposicionales globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente y que inversamente, el producto de n variables proposicionales globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.

       Una técnica fácil para demostrar que dos conjuntos son iguales es demostrar que todos los elementos de uno están contenidos en el otro y viceversa. De ambas inclusiones podemos deducir que ambos conjuntos tienen los mismos elementos y por lo tanto son iguales. Eso es lo que haremos para demostrar dichas leyes.

1) Primera Ley: El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los complementos de dichos conjuntos.

       Es decir, todo elemento que pertenece al complemento de la unión pertenece a la intersección de los complementos de los conjuntos

Recíprocamente

       Es decir, todo elemento que pertenezca a la intersección de los complementos de dos conjuntos pertenece al complemento de la unión de dichos conjuntos.
De ambas inclusiones deducimos que ambos conjuntos son iguales

2) Segunda ley: El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementos de dichos conjuntos.

       La demostración es lógicamente análoga a la anterior.

       de donde se deducen las dos inclusiones.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS 

       Sean los conjuntos ,A ,B C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con 

esos conjuntos son las siguientes: 

1. Propiedades de identidad: 

A∪ φ = A 

A∪U = U 

A∩U = A 

A∩φ = φ 

2. Propiedades de idempotencia: 

A∪ A = A 

A∩ A = A 

       Esta propiedad es la acción de realizar varias determinadas consiguiendo así un mismo resultado como si lo realizáramos con un solo método. En otras situaciones, en las matemáticas y la informática, se puede aplicar la Idempotencia ya que no nos cambiarían el resultado.

3. Propiedades de complemento: 

A∪ 'A = U 

A∩ 'A = φ 

4. Propiedades asociativas: 

(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C) 

(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C) 

5. Propiedades conmutativas 

A∪ B = B ∪ A 

A∩ B = B ∩ A 

6. Propiedades distributivas 

A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C) 

A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

CARDINALIDAD O NUMERO CARDINAL

       La cardinalidad indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto A\,, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante  \#A o N. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.

PRODUCTO CARTESIANO

       En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:



Ejemplos 

Algunos de estos pueden ser :

Baraja francesa

       Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo:
B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦), (A, ♣), ..., (K, ♣) }

Números enteros

       Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo esZ2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano.

Propiedades

       El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares ordenados:
Un producto cartesiano donde algún factor sea el conjunto vacío es vacío. En particular:

       El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.
En general:

       Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil ver que el cardinal del conjunto producto es el producto de los cardinales de cada factor:

• El producto cartesiano de un número finito de conjuntos finitos es finito a su vez. En particular, su cardinal es el producto de los cardinales de cada factor:

• El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún conjunto infinito es infinito a su vez.
En teoría de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue siendo cierta utilizando cardinales infinitos.

       El poducto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado como A x B, y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.
Como ejemplo:

             


              Integrantes :          C.I                                   Carrera: Informática 

• Guillermo García  26.369.374                    Sección: 1   
•                                                                                  
• Rolando Bandres  26.095.956
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•  Miguel Garcia       25.364.138                    Prof: Marisabel León
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